阶跃响应

阶跃响应

这是关于一阶电路阶跃响应 (Step Response) 的专项整理。

阶跃响应属于零状态响应的一种特例。 定义：电路无初始储能（$u_C(0_-)=0$ 或 $i_L(0_-)=0$），仅在 $t=0$ 时接入一个恒定的直流激励（如接入电源 $U_S$ 或 $I_S$）。

在数学上，激励源通常表示为 $u(t) = U_S \cdot \varepsilon(t)$。

1. 核心通用公式

对于一阶电路，阶跃响应主要表现为指数增长或指数衰减。

若求状态变量（$u_C$ 或 $i_L$），其波形是**“爬升”**的： $f(t) = \text{稳态值} \times (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$

若求非状态变量（如电容电路中的电流 $i_C$ 或电阻电压 $u_R$），其波形是**“跳变后衰减”**的： $f(t) = \text{初始最大值} \times e^{-\frac{t}{\tau}}$

2. RC 电路的阶跃响应

场景：电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联，接入电压源 $U_S$。 时间常数：$\tau = RC$

A. 电容电压 $u_C(t)$ —— 充电过程

电容两端电压不能突变，从 0 开始慢慢上升，最终达到电源电压。

• 公式： $u_C(t) = U_S (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$
• 特征：$t=0$ 时为 0，$t \to \infty$ 时为 $U_S$。

B. 电路电流 $i(t)$ —— 跳变与衰减

电容在 $t=0_+$ 瞬间相当于短路（电压为0），电流瞬间达到最大，随充电过程逐渐减小至 0。

• 公式： $i(t) = \frac{U_S}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}$
• 特征：$t=0$ 时跳变到 $U_S/R$，$t \to \infty$ 时为 0（电容相当于开路）。

C. 电阻电压 $u_R(t)$

• 公式：$u_R(t) = i(t)R = U_S e^{-\frac{t}{\tau}}$
• 波形：同电流波形，瞬间跳变，然后衰减。

3. RL 电路的阶跃响应

场景：电阻 $R$ 与电感 $L$ 串联，接入电压源 $U_S$。 时间常数：$\tau = \frac{L}{R}$

A. 电感电流 $i_L(t)$ —— 磁能建立过程

电感电流不能突变，从 0 开始慢慢上升，最终被电阻限流。

• 公式： $i_L(t) = \frac{U_S}{R} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$
• 特征：$t=0$ 时为 0，$t \to \infty$ 时为 $U_S/R$（电感相当于短路）。

B. 电感电压 $u_L(t)$ —— 跳变与衰减

$t=0_+$ 瞬间电感相当于开路（阻碍电流变化），感应电动势最大（等于电源电压），随后减小。

• 公式： $u_L(t) = U_S e^{-\frac{t}{\tau}}$
• 特征：$t=0$ 时跳变到 $U_S$，$t \to \infty$ 时为 0。

4. 重点应用：微分与积分电路

一阶电路的阶跃响应波形取决于输出取在哪个元件上。

1. 积分电路 (Integrator)：
   • 输出取在电容 $C$ 两端 ($u_{out} = u_C$)。
   • 条件：$\tau \gg$ 脉冲宽度。
   • 阶跃响应表现为：电压缓慢线性上升（近似积分）。
2. 微分电路 (Differentiator)：
   • 输出取在电阻 $R$ 两端 ($u_{out} = u_R$)。
   • 条件：$\tau \ll$ 脉冲宽度。
   • 阶跃响应表现为：瞬间尖峰，随即快速衰减归零（提取了阶跃信号的“跳变沿”）。

5. 单位阶跃响应 $s(t)$ 与 冲激响应 $h(t)$ 的关系

在信号与系统中，如果激励是单位阶跃函数 $\varepsilon(t)$（即 $U_S = 1\text{V}$），此时的零状态响应称为单位阶跃响应，记为 $s(t)$。

它与单位冲激响应 $h(t)$ 存在微积分关系：

1. 积分关系： $s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\lambda) d\lambda$ (阶跃响应是冲激响应的积分)

2. 微分关系： $h(t) = \frac{d s(t)}{dt}$ (冲激响应是阶跃响应的导数)

举例验证： RC电路中，$s(t) = u_C(t) = 1 - e^{-t/\tau}$。 对其求导： $h(t) = \frac{d}{dt}(1 - e^{-t/\tau}) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}$ 这正是 RC 电路的冲激响应公式。

在电路分析和信号系统中，阶跃函数 (Step Function) 通常指的是单位阶跃函数 (Unit Step Function)。

以下是它的符号、数学定义以及在电路中的常见写法：

1. 常用符号

根据教材体系不同，通常有两种写法：

• $\varepsilon(t)$：国内电路原理教材（如邱关源版）最常用。
• $u(t)$：信号与系统、自动控制原理以及国外教材最常用（$u$ 代表 Unit）。
• $H(t)$：物理学中偶尔使用（代表 Heaviside）。

2. 数学定义表达式

它是一个分段函数，定义如下：

$\varepsilon(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t > 0 \end{cases}$

注意 $t=0$ 处的定义：

• 在电路分析中，通常不需要关注 $t=0$ 这一点的精确数学值，而是关注 $t=0_-$ (跳变前) 和 $t=0_+$ (跳变后) 的状态。
• 在纯数学定义中，有时定义 $\varepsilon(0) = 0.5$，但在工程上通常忽略此细节。

3. 常见的变形写法（很重要）

在实际电路题目中，阶跃函数常用来表示开关动作或电源接入：

(1) 幅度变化（非单位阶跃）

如果接入的是 $10\text{V}$ 的直流电源，写作： $f(t) = 10 \cdot \varepsilon(t) \text{ V}$

• 含义：$t<0$ 时电压为 0，$t>0$ 时电压恒为 10V。

(2) 时间延迟（平移）

如果开关在 $t = t_0$ 时刻才闭合（而不是 $t=0$），写作： $\varepsilon(t - t_0) = \begin{cases} 0, & t < t_0 \\ 1, & t > t_0 \end{cases}$

• 记忆口诀：“左加右减”。$(t-2)$ 表示图像向右平移2秒，即在 $t=2$ 时跳变。

(3) 矩形脉冲（门函数）

利用两个阶跃函数相减，可以表示一个持续一段时间的脉冲电压： $f(t) = \varepsilon(t) - \varepsilon(t - T)$

• 含义：在 $t=0$ 时打开，在 $t=T$ 时关闭。结果是一个宽度为 $T$、高度为 1 的矩形波。

(4) 反向阶跃 (切断)

表示 $t=0$ 时刻电源断开（从有到无）： $f(t) = 1 - \varepsilon(t)$

• 含义：$t<0$ 时为 1，$t>0$ 时为 0。

4. 阶跃函数与其他函数的关系

• 与冲激函数 $\delta(t)$ 的关系： 阶跃函数的导数是冲激函数。 $\frac{d\varepsilon(t)}{dt} = \delta(t)$

• 与斜坡函数 $r(t)$ 的关系： 阶跃函数的积分是斜坡函数。 $\int_{-\infty}^{t} \varepsilon(\tau) d\tau = t \cdot \varepsilon(t)$