一阶电路

一阶电路

这是一份关于一阶电路（RC电路和RL电路）零输入、零状态及全响应的公式整理。

在工程计算中，最通用、最核心的公式是**“三要素法”**。只要掌握了三要素法，其他响应形式都是它的特例。

1. 核心通用公式：三要素法

任意一阶电路的响应 $f(t)$（电压或电流）均可表示为：

$f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}$

其中“三要素”为：

1. $f(0_+)$：初始值（换路后瞬间的值）。
2. $f(\infty)$：稳态值（换路很长时间后的值）。
3. $\tau$：时间常数（决定变化快慢）。

2. 关键参数：时间常数 $\tau$

时间常数取决于电路的结构和元件参数，计算公式如下：

• RC 电路 (电容 $C$)： $$\tau = R_{eq} C$$
• RL 电路 (电感 $L$)： $$\tau = \frac{L}{R_{eq}}$$

注意：$R_{eq}$ 是从储能元件（电容或电感）两端看进去的戴维宁等效电阻。

3. 三种响应的详细公式

为了方便理解，设 $y(t)$ 为电路中的电压 $u(t)$ 或电流 $i(t)$。

(1) 零输入响应 (Zero-Input Response, ZIR)

• 定义：没有外加激励源，仅由储能元件的初始储能引起的响应。
• 条件：激励源 $f(\infty) = 0$（或被移除），初始状态 $f(0_+) \neq 0$。
• 物理意义：能量释放（放电）过程。
• 公式： $$y_{zi}(t) = y(0_+) e^{-\frac{t}{\tau}}$$

(2) 零状态响应 (Zero-State Response, ZSR)

• 定义：储能元件初始能量为零，仅由外加激励源引起的响应。
• 条件：初始状态 $f(0_-) = 0$ (即 $f(0_+)=0$ 对于状态变量)，稳态值 $f(\infty) \neq 0$。
• 物理意义：能量积累（充电）过程。
• 公式（假设为阶跃激励）： $$y_{zs}(t) = y(\infty) (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$$

(3) 全响应 (Full Response)

• 定义：电路既有初始储能，又有外加激励。

• 两种分解方式：

  方式 A：叠加法 (全响应 = 零输入 + 零状态)

  $$y(t) = \underbrace{y(0_+) e^{-\frac{t}{\tau}}}_{\text{零输入响应}} + \underbrace{y(\infty) (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})}_{\text{零状态响应}}$$

  方式 B：稳态+暂态分解 (数学形式)

  $$y(t) = \underbrace{y(\infty)}_{\text{稳态分量 (强制分量)}} + \underbrace{[y(0_+) - y(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}}_{\text{暂态分量 (自由分量)}}$$

4. RC 与 RL 电路具体对照表

在分析时，通常先求状态变量（电容电压 $u_C$ 或电感电流 $i_L$），因为它们遵循换路定则（不能突变）。

5. 解题步骤总结 (使用三要素法)

1. 求初始值 $f(0_+)$：
   • 先分析 $t=0_-$ 电路，求出 $u_C(0_-)$ 或 $i_L(0_-)$。
   • 根据换路定则：$u_C(0_+) = u_C(0_-)$， $i_L(0_+) = i_L(0_-)$。
   • 画出 $t=0_+$ 的等效电路（电容视为电压源，电感视为电流源），求出所需的电压或电流初始值。
2. 求稳态值 $f(\infty)$：
   • 分析 $t \to \infty$ 时的电路。
   • 直流激励下：电容视为开路，电感视为短路。
3. 求时间常数 $\tau$：
   • 将激励源置零（电压源短路，电流源开路）。
   • 从储能元件两端看进去求等效电阻 $R_{eq}$。
   • 计算 $\tau$。
4. 代入公式：
   • $f(t) = f(\infty) + [f(0_+) - f(\infty)] e^{-t/\tau}$