二端网络等效参数计算（串联与并联）

二端网络等效参数计算（串联与并联）

这是一道关于交流电路二端网络等效参数计算的题目。我们需要根据给定的电压和电流瞬时值表达式，计算出串联等效电路（右图）和并联等效电路（左图）中的元件参数。

1. 提取已知量并转换为相量形式

已知电压和电流的瞬时值表达式为： $u(t) = 2\sqrt{2} \cos(10^4t + 30^\circ) \, \text{V}$ $i(t) = 100\sqrt{2} \cos(10^4t + 60^\circ) \, \text{mA} = 0.1\sqrt{2} \cos(10^4t + 60^\circ) \, \text{A}$

角频率：$\omega = 10^4 \, \text{rad/s}$

将电压和电流转换为有效值相量（也可以用最大值，结果一致，这里采用通用的有效值）：

• 电压相量：$\dot{U} = 2 \angle 30^\circ \, \text{V}$
• 电流相量：$\dot{I} = 0.1 \angle 60^\circ \, \text{A}$

2. 求解串联等效电路参数 (对应右图 R, C)

串联等效阻抗 $Z$ 定义为电压相量与电流相量的比值： $Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{2 \angle 30^\circ}{0.1 \angle 60^\circ} = 20 \angle (30^\circ - 60^\circ) = 20 \angle -30^\circ \, \Omega$

将阻抗转换为代数形式（直角坐标形式）： $Z = 20 [\cos(-30^\circ) + j\sin(-30^\circ)]$ $Z = 20 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - j\frac{1}{2} \right)$ $Z = 10\sqrt{3} - j10 \, \Omega \approx 17.32 - j10 \, \Omega$

对于串联电路 $Z = R + jX_C = R + \frac{1}{j\omega C} = R - j\frac{1}{\omega C}$，通过对比实部和虚部：

1. 电阻 $R$： $R = \text{Re}[Z] = 10\sqrt{3} \approx \mathbf{17.32 \, \Omega}$

2. 电容 $C$： 虚部为容抗 $X_C = 10 \, \Omega$ $X_C = \frac{1}{\omega C} \implies C = \frac{1}{\omega X_C}$ 代入数值： $C = \frac{1}{10^4 \times 10} = 10^{-5} \, \text{F} = \mathbf{10 \, \mu F}$

3. 求解并联等效电路参数 (对应左图 R’, C’)

并联电路通常计算导纳 $Y$，它是阻抗的倒数： $Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{20 \angle -30^\circ} = 0.05 \angle 30^\circ \, \text{S}$

将导纳转换为代数形式： $Y = 0.05 (\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ)$ $Y = 0.05 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2} \right)$ $Y = 0.025\sqrt{3} + j0.025 \, \text{S} \approx 0.0433 + j0.025 \, \text{S}$

对于并联电路 $Y = G' + jB_C = \frac{1}{R'} + j\omega C'$，通过对比实部和虚部：

1. 电阻 $R'$： 实部为电导 $G' = 0.025\sqrt{3} \, \text{S}$ $R' = \frac{1}{G'} = \frac{1}{0.025\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx \mathbf{23.09 \, \Omega}$

2. 电容 $C'$： 虚部为容纳 $B_C = 0.025 \, \text{S}$ $B_C = \omega C' \implies C' = \frac{B_C}{\omega}$ 代入数值： $C' = \frac{0.025}{10^4} = 2.5 \times 10^{-6} \, \text{F} = \mathbf{2.5 \, \mu F}$

结论 Summary

串联等效电路（右图）参数：

• 电阻 $R = 17.32 \, \Omega$ ($10\sqrt{3} \, \Omega$)
• 电容 $C = 10 \, \mu F$

并联等效电路（左图）参数：

• 电阻 $R' = 23.09 \, \Omega$ ($\frac{40\sqrt{3}}{3} \, \Omega$)
• 电容 $C' = 2.5 \, \mu F$