Z=X+Y 概率密度推导（变量代换法）

Z=X+Y 概率密度推导（变量代换法）

使用**变量代换法（Jacobian 变换法）**推导 $Z=X+Y$ 的概率密度函数是一个非常标准且严谨的方法。这种方法的核心在于将二维随机变量 $(X, Y)$ 变换为新的二维随机变量 $(U, V)$，然后求边缘密度。

以下是详细推导步骤：

1. 设定变换与引入辅助变量

我们要求 $Z = X + Y$ 的分布。为了使用二维变量代换定理，我们需要建立一个从 $(X, Y)$ 到 $(U, V)$ 的一一映射。

• 设定目标变量：令 $U = X + Y$（题目中要求的 $Z$）。
• 设定辅助变量：为了构成二维变换，通常选取 $V = X$（或者选 $V=Y$ 也可以，结果一样）。

此时，变换公式为：

2. 求反函数

我们需要将 $x, y$ 用 $u, v$ 表示出来： 由 $V = X$ 得： $x = v$ 代入 $U = X + Y$ 得 $y = U - X$，即： $y = u - v$

所以反变换为：

3. 计算雅可比行列式 (Jacobian)

雅可比行列式 $J$ 描述了变换过程中面积（体积）微元的伸缩比例。公式为 $J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$。

代入导数：

• $x = v \implies \frac{\partial x}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = 1$
• $y = u - v \implies \frac{\partial y}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = -1$

我们要用到的是 $J$ 的绝对值： $|J| = |-1| = 1$

4. 求 $(U, V)$ 的联合概率密度函数

根据多维随机变量变换的概率密度公式： $f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|$

将反函数 $x=v, y=u-v$ 和 $|J|=1$ 代入： $f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(v, u-v) \cdot 1 = f_{X,Y}(v, u-v)$

5. 求 $U$ 的边缘概率密度（即 $Z$ 的密度）

我们要找的是 $U$（即 $X+Y$）的概率密度 $f_U(u)$。根据边缘密度的定义，我们需要对联合密度 $f_{U,V}(u, v)$ 关于 $v$ 在全域上积分：

$f_U(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{U,V}(u, v) \, dv$

将上一步的结果代入： $f_U(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(v, u-v) \, dv$

6. 整理符号并推导卷积公式

题目要求的是 $Z=X+Y$ 的密度 $f_Z(z)$。我们将变量名 $u$ 换回 $z$，将积分变量 $v$ 换回 $x$（这只是哑变量的记号改变，不影响结果），得到一般公式：

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx$

推导独立情形下的卷积公式：

若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则联合密度等于边缘密度的乘积： $f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$

代入上述一般公式： $f(x, z-x) = f_X(x) \cdot f_Y(z-x)$

于是得到连续性卷积公式： $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$

这就是著名的卷积公式，记作 $f_Z = f_X * f_Y$。