jisuan

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11-11 题 (双缝干涉)

已知：

• 波长 $\lambda = 546.1 \text{ nm} = 5.461 \times 10^{-7} \text{ m}$
• 双缝屏距 $D = d' = 300 \text{ mm} = 0.3 \text{ m}$
• 两侧第五级明纹间距 $\Delta x_{5} = 12.2 \text{ mm} \Rightarrow$ 中央到第五级明纹距离 $x_5 = 6.1 \text{ mm} = 6.1 \times 10^{-3} \text{ m}$
• 级数 $k=5$

求： 双缝间距 $d$

解： 根据双缝干涉明纹公式：

则双缝间距为：

代入数据：

答： 双缝间的距离为 $1.34 \times 10^{-4} \text{ m}$。

11-18 题 (空气劈尖)

已知：

• 劈尖长度 $L = 2.888 \times 10^{-2} \text{ m}$
• 波长 $\lambda = 589.3 \text{ nm} = 5.893 \times 10^{-7} \text{ m}$
• 30条条纹总宽 $W = 4.295 \times 10^{-3} \text{ m}$
• 条纹间距 $\Delta x = \frac{W}{30}$

求： 细丝直径 $d$

解： 劈尖干涉条纹间距公式为：

整理得细丝直径公式：

代入数据：

答： 细丝直径为 $5.94 \times 10^{-5} \text{ m}$。

9-28 题 (简谐振动)

已知：

• 质量 $m = 0.10 \text{ kg}$
• 振幅 $A = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m}$
• 最大加速度 $a_{\max} = 4.0 \text{ m/s}^2$

解：

(1) 求周期 $T$ 由 $a_{\max} = \omega^2 A$ 得角频率：

(2) 求平衡位置时的总能量与动能 总能量 $E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$：

平衡位置势能为0，故动能 $E_k = E = 2.0 \times 10^{-3} \text{ J}$。

(3) 动能和势能各占一半时的位置 令 $E_p = \frac{1}{2}E$，即 $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}kA^2)$：

(4) 位移为振幅一半时的能量占比 当 $x = \frac{A}{2}$ 时： 势能：$E_p = \frac{1}{2}k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}kA^2) = \frac{1}{4}E$ (占25%) 动能：$E_k = E - E_p = \frac{3}{4}E$ (占75%)

1. 氮气题

• 研究对象：氮气（$N_2$），属于双原子分子理想气体。
  • 自由度 $i = 5$
• 初始状态（状态1）：
  • $P_1 = 200 \text{ kPa} = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$
  • $V_1 = 0.005 \text{ m}^3$
  • 在此状态下，$P_1 V_1 = 2 \times 10^5 \times 0.005 = 1000 \text{ J}$

2. 过程分析与状态参数计算

过程一：等温膨胀（$T$ 不变）

• 条件：压强变为原来的一半。
• 状态2 参数：
  • $P_2 = \frac{1}{2} P_1 = 100 \text{ kPa} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$
  • 根据玻意耳定律 $P_1 V_1 = P_2 V_2$： $$V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{1000}{1 \times 10^5} = 0.01 \text{ m}^3$$
  • 此时 $P_2 V_2 = 1000 \text{ J}$

过程二：等压压缩（$P$ 不变）

• 条件：压缩到原来的体积。
• 状态3 参数：
  • $P_3 = P_2 = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$
  • $V_3 = V_1 = 0.005 \text{ m}^3$
  • 此时 $P_3 V_3 = 1 \times 10^5 \times 0.005 = 500 \text{ J}$

3. 求解各物理量

(1) 内能变化 ($\Delta U$)

内能是状态量，只与始末状态的温度（即 $PV$ 值）有关。 对于双原子分子（$i=5$）：

代入数据：

• 结果：内能减少了 1250 J。

(2) 做的总功 ($W$)

功是过程量，我们将两个过程的功分开计算（这里计算气体对外做的功）：

• 第一步（等温膨胀）： $W_1 = \int P dV = P_1 V_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ $W_1 = 1000 \times \ln\left(\frac{0.01}{0.005}\right) = 1000 \times \ln 2 \approx 1000 \times 0.693 = 693 \text{ J}$ (气体对外做正功)

• 第二步（等压压缩）：

  $$W_2 = P_2 (V_3 - V_2)$$ $$W_2 = 1 \times 10^5 \times (0.005 - 0.01) = 10^5 \times (-0.005) = -500 \text{ J}$$

  (外界对气体做功，即气体对外做负功)

• 总功 ($W_{总}$)：

  $$W_{总} = W_1 + W_2 = 693 - 500 = 193 \text{ J}$$
  • 结果：气体对外做的总功为 193 J。

(3) 热量变化 ($Q$)

根据热力学第一定律：$Q = \Delta U + W_{对外}$

• 结果：$Q$ 为负值，表示气体放出热量 1057 J。

【最终答案总结】

1. 气体的热量变化：放热 1057 J。
2. 做的总功：气体对外做功 193 J。
3. 内能变化：内能减少 1250 J。