复变公式

复变公式

一、 复数与几何基础

3. 欧拉公式 (Euler’s Formula)

4. 乘除与幂根 (棣莫弗公式) 若 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$：

• 乘法：$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
• 除法：$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$
• 乘方：$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$
• 开方 (n个根)：

二、 解析函数与柯西-黎曼方程

1. 导数定义

2. 柯西-黎曼方程 (C-R 条件) 设 $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$，函数可导的充要条件：

• 直角坐标形式：

• 极坐标形式：

3. 解析函数导数公式

4. 调和函数 若 $f(z)$ 解析，则 $u, v$ 均为调和函数（满足拉普拉斯方程）：

三、 基本初等函数

1. 指数函数

• 周期性：$T = 2\pi i$

2. 对数函数

• 定义：$\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i (\arg z + 2k\pi)$
• 主值：$\ln z = \ln |z| + i \arg z$

3. 幂函数

4. 三角函数

• 关系：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$

5. 双曲函数

• 与三角函数关系：$\sin(iz) = i \sinh z, \quad \cos(iz) = \cosh z$

四、 复积分理论

1. 柯西-古萨定理 (Cauchy-Goursat) 若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，且 $C$ 为 $D$ 内闭曲线：

2. 复合闭路定理

(其中 $C$ 包含所有 $C_k$，方向均为逆时针)

3. 柯西积分公式

4. 高阶导数公式

五、 级数展开

1. 泰勒级数 (Taylor Series) 在 $z_0$ 的解析邻域内：

其中系数：$c_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

2. 洛朗级数 (Laurent Series) 在圆环域 $R_1 < |z - z_0| < R_2$ 内：

其中系数：$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz$

3. 常见展开式 ($z_0=0$)

• $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n, \quad (|z|<1)$
• $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \quad (|z|<\infty)$
• $\sin z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos z = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

六、 留数理论

1. 留数定义

2. 留数计算公式

• 可去奇点：$\operatorname{Res} = 0$
• 一级极点 (Simple Pole)：

若 $f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$，且 $P(z_0)\neq 0, Q(z_0)=0, Q'(z_0)\neq 0$：

• m 级极点 (Order m Pole)：

• 本性奇点： 直接展开成洛朗级数，取 $c_{-1}$ 项系数。
• 无穷远点留数：

3. 留数定理